1984 - Eléménts de Théorie de Groupes - Josette Calais

Dans la meme perspective de développement d'algèbre, SPE, scientific pdf ebooks, vous propose cet ebook intéréssant sur une notion fondamentale, à savoir les GROUPES.

Il traite de la majorité des aspects relatifs à ce sujet. Et avec une niche d'exercices en fin de chaque chapitre SVP!!

Bonne lecture!

A lire aussi: Collection U - Exercices d'Algèbre 1ère

 

PRÉFACE
INTRODUCTION
PRINCIPALES NOTATIONS

CHAPITRE PREMIER / Structure de groupes (gr)

1 / Notion de groupe

A / Loi de composition interne
B / Groupe
C / Règles de calcul dans un groupe
D / Premiers exemples de groupe /Table de Cayley d'un groupe fini

2 / Sous-groupe SG

A / Notion de SG. Propriétés élémentaires
B / Exemples de SG
C / SG engendré par une partie non vide d'un gr
D / Somme directe de SG d'un gr abélien (G, +)

3 / Morphismes de gr

A / Définitions. Propriétés générales
B / Isomorphismes. Théorème de Cayley
C / Monomorphismes et épimorphismes de gr

4 / Produit direct de gr

A / Produit direct de demc gr
B / Produit direct d'un nombre fini quelconque de gr
C / Produit direct d'une famille quelconque de gr
D / Propriété universelle du produit direct de gr

Exercices chapitre I
 
CHAPITRE II / Classes modulo un SG
1 / Classes à droite, classes à gauche modulo un SG

A/ Relations d'équivalence modulo un SG
B / Théorème de Lagrange. Indice d'un SG
C / Formule des indices

2 / Propriétés des relations d'équivalence modulo un SG

A / Compatibilité d'une relation d'équivalence avec une loi de composition
B / Propriétés des relations du type RH et HR. 1er théorème d'isomorphisme

Exercices chapitre II
 
CHAPITRE III / Gr monogènes. Gr symétriques Sn. Gr diédraux
1 / Gr monogènes

A / Caractérisation des gr monogènes
B / Sous-groupes d'un gr monogène
C / Générateurs d'un gr monogène
D / Produits directs de gr cycliques. Calcul de Phi(n)

2 / Gr symétriques Sn

A / Notion de sigma-orbite (ou orbite suivant sigma)
B / Cycles dans Sn . Transpositions
C / Décomposition d'une permutation en un produit de cycles ou en un produit de transpositions

D / Signature d'une permutation
E / Gr alterné An.

3 / Gr diédraux Dn.
Exercices chapitre III
 
CHAPITRE IV / SG normaux
1 / Notion de SG normal (ou distingué). Gr quotient
2 / Notion de gr simple
3 / Etude des SG normaux

A / Caractérisations et propriétés
B / Classes de conjugaison. Normalisateur

4 / Etude des gr quotients

A / Propriété universelle du gr quotient
B / SG d'un gr quotient
C / 2e et 3e théo d'isomorphisme

5 / Gr dérivé. SG caractéristique

A/ Gr dérivé d'un gr
B / SG caractéristique

6 / SG maximal. SG normal maximal
Exercices chapitre IV
 
CHAPITRE V / Gr opérant sur un ensemble
1 / Notion de gr opérant sur un ensemble

A / Définitions. Généralités
B / Exemples classiques

2 / SG d'isotropie ou stabilisateur. Orbite

A / Définitions. Exemples.
B / Propriétés des stabilisateurs et des orbites

3 / SG des points fixes d'un G-ensemble
4 / Produit semi-direct
Exercices chapitre V
 
CHAPITRE VI / Gr finis. Théo de Sylow
1 / Théorèmes de Sylow

A / 1er théo de Sylow
B / 2ieme théo de Sylow

2 / Quelques applications des théo de Sylow
Exercices chapitre VI
 
CHAPITRE VII / Suites de composition
a

1 / Théorème de ]ordan-Holder
A / Suite de composition
B / Théorème de Jordan-Hôlder
2 / Gr résolubles

A / Définitions et propriétés générales
B / Gr finis résolubles

3 / Gr nilpotents

A / Suites centrales. Notion de gr nilpotent
B / Propriétés générales des gr nilpotents

C / Gr nilpotents finis.

Exercices chapitre VII
 
CHAPITRE VIII / Gr abéliens
1 / Somme directe de gr abéliens

A / Notion de somme directe de gr abéliens
B / Propriété universelle de la somme directe de gr abéliens

2 / Gr abéliens libres

A / Caractérisation des gr abéliens libres
B / Rang d'un gr abélien libre
C / Propriété universelle d'un gr abélien libre
D / SG d'un gr abélien libre

3 / Gr abéliens de torsion

A / Gr de torsion, sans torsion, mixtes
B / Composante p-primaire d'un gr abélien de torsion

4 / Gr abéliens de type fini

A / SG d'un gr abélien de type fini
B / Décomposition canonique d'un gr abélien de type fini

Exercices chapitre VIII
 
CHAPITRE IX / Gr libres. Générateurs et relations. Produit libre de gr
1 / Groupe libre

A / Construction d'un gr libre
B / Propriété universelle d'un gr libre

2 / Générateurs et relations

A / Présentation
B / Rang d'un gr libre

3 / SG d'un gr libre

A / Préliminaires
B / Transversales d'un SG dans un gr
C / Preuve du théorème de Nielsen-Schreier
D / Rang d'un SG d'un gr libre

4 / Produit libre de gr

A / Construction d'un produit libre de gr
B / Propriété universelle du produit libre de gr

Exercices chapitre IX
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
INDEX
 
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Mots-clé: maths, algèbre, prepa, groupes 

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