2002 - Calcul diff. et équa. diff. Azé

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Bon, c'est une partie importante dans la vie d'un étudiant de science que de connaitre les principes et la manipulation des équations différentielles. Cet ouvrage est là pour ça. Profitez-en pleinement et bonne lecture!

Avant-propos

Le module d'enseignement intitulé « Calcul différentiel-Équations différentielles» figure dans les formations de maths au niveau Bac+3 (licences de maths). Il a la réputation d'être difficile de manière injustifiée nous semble-t-il. Car il est certainement moins abstrait que la topologie générale ou la théorie de la mesure enseignées au même niveau, et possède un aspect « maths qui fonctionne» qui fait son attrait et qu'il s'agit d'exploiter.

Le présent ouvrage s'adresse aux étudiants, c'est un recueil de devoirs, au sens pre­mier du mot, c-à-d de travaux à effectuer, en temps limité ou chez soi, seul ou en groupe. Les devoirs (du moins lorsqu'on n'abandonne pas trop vite de­vant les difficultés) ont pour objectif de faire progresser dans la maîtrise du savoir et du savoir-faire qui vont avec le sujet; bref, ici comme dans les autres modules, « on progresse en maths en pratiquant».

La majorité des exercices et problèmes indiqués sont originaux (mention pour l'ex 2 de Sujet 19 : pris dans [12], Sujet 35: issu de [ 14], et de parties de Sujet 18 et de Sujet 27: adaptées de [51). La durée estimée pour la plupart des devoirs proposés est de 3 heures.

En effet, nous n'avons pas suivi l'ancienne méthode des devoirs avec un long problème divisé en plusieurs parties, aboutissant à un résultat synthétisant palpable; il s'agira davantage pour nous d'un ensemble de deux ou trois exercices indépendants, traitant de chapitres diffé­rents du programme.

Les thèmes abordés suivent grosso modo le déroulement d'un programme standard de module « calcul différentiel-équations différentielles » (cf infra). avec au fur et à mesure qu'on avance, un retour sur les chapitres précédents, bref une progression en spirale qui nous est chère. plutôt que linéaire. La plupart des devoirs proposés dans le présent recueil, sinon tous, ont été posés durant les dix der­nières années sous forme d'examens intermédiaires ou terminaux en temps court, ou à faire chez soi. Ils ont quelquefois été reformulés ou légèrement changés, ce qui a indéniablement induit à des abérrations.

Ci-dessous est présenté le programme commenté:

1. Calcul différentiel.

Dans certaines universités. ce thème fait seul l'objet d'un module séparé de licences de mathématiques. Le calcul différentiel est né au xvi siècle de la nécessité de résoudre des problèmes d'optimisation (ou d'extremum selon une terminologie plus ancienne); la forme élaborée qui est présentée dès les premiers chapitres du programme date de la fin du xix siècle et du début du xx.

Fonctions différentiables. Différentiation de fonctions composées. Différentielles partielles.

Théorème des accroissements finis ou des valeurs moyennes. Suites et séries de fonctions différentiables.

Différentielles d'ordre sup; fonc de classe CP_ Formules de TAYLOR. La différentiation des fonc de 2 ou 3 variables. étudiée en 1er cycle universitaire, est une aide importante dans l'assimilation de ce qui n'en est qu'une généralisation. Ne pas sous-estimer la difficulté, réelle, qu'engendre la notion de différentielle d'ordre supérieur (d'ordre 2 en fait). Dans calcul diff, on trouve calcul, l'étudiant-lecteur devrait faire les calculs qui sont proposés.

Théo d'inversion locale, des fonc implicites. Applications aux conditions d'optimalité du 1er et du 2ième ordre : problèmes d'optimisation sans contrainte. problèmes avec contraintes du type réalité ( dans ce cas. conditions du premier ordre uniquement), Théorème des multiplicateurs de LAGRANGE.

Introduction aux sous-variétés de IR" (cas particulier des courbes de JR2 et JR3 , et des .mrfacesde IR3). Sous-espace (vectoriel, affine) tangent, normal. Représenta­tions locales par des équations ou des paramétrisations.

Introduction aux problèmes variationnels.

C'est typiquement du calcul diff. sur des fonc exprimées en intégrales. Ony  insiste par le biais de quelques exos; en effet. à prutir d'exemples modélisant des situations d'applications (en mécrulique, phy­sique), on montre comment les concepts et résultats acquis permettent de résoudre des problèmes posés ou, à défaut, de mieux les cerner.

2. Équations différentielles.

Théorèmes de CAUCHY-LIPSCHITZ, solutions maximales, dépendance des conditions initiales et des paramètres, intégrales premières.

Equations différentielles vectorielles linéaires (ou systèmes différentiels). Résol­vante. Wronckien.

Méthode de variation des constallfes; équations différentielles linéaires scalaires à coefficients constants.

Voilà un domaine où l'on peut être touffu et prolixe à l'excès. Nous mettons l'ac­cent sur deux points : les équations différentielles vectorielles sont posées dans !R2 ou JR3, rarement au-delà, jamais en dimension infinie; nous insistons volon­tairement sur les équations différentielles linéaires, pas seulement parce que la théorie et les calculs y sont plus agréable, et complet, mais aussi en raison de leur importance dans l'approximation du non linéaire. Pour cette pattie. nous pen­sons qu'une connaissance des équations différentielles, telles que présentées dans un bon cours de mathématiques spéciales, est un objectif amplement suffisant.

- Introduction à l'analyse numérique des équations différentielles.

Cette partie du programme figure habituellement plutôt dans les cours d'analyse numérique du même niveau de formation; seuls deux devoirs sont proposés ici.

Sur un semestre d'enseignement, la première paitie (calcul différentiel) oc­cupe les deux tiers, la seconde partie le tiers restant. De 36 à 40 heures seront nécessaires pour compléter ce programme; quant aux TD d'exos, un minimum de 45 à 50 h est obligatoire pour cette fin.

Les commentaires ou suggestions du lecteur pour les éditions futures seraient appré­ciés des auteurs et peuvent être envoyés aux adresses électroniques qui suivent.

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Mots-clé: maths, calcul diff, équa diff, prepa.

Note:
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