2001 - Cours d'analyse - Théorie des distributions et analyse de Fourier - Bony
" Par exemple, il existe des solutions particuliènnneut simples, de la forme circulaire, soit le nombre complexe (et se détermine à partir de ç par un simple calcul algébrique. Bien que son introduction par L. Schwartz ne soit encore plus ou moins anciènne, elle a contribué aux progrès ed la théorie des EDP et de l'analyse harmonique que l'on ne saurait plus parler de ces deux branches sans y avoir recours.
L 'ensemble du cours, et notamment l'introduction du chapitre Ll, montre l'intérêt de cette généralisation de la notion de fonction. Cela dit, l'aspect déductif de l'exposition risque de donner une idée fausse du développement historique des mathématiques qui est tout sauf déductif. L'introduction des distributions est aussi raboutissement d'un processus s'étalant sur plus d'un domaine en mathtématiques et en physique.
Le calcul symbolique de Heaviside (1893), et; surtout; le formalisme introduit par P. Dirac (1926) pour les besoins de la quantique. la célèbre "fonction" notamnent posaient un problème intéressant. La définition de ces concepts comme des fonctions au sens mathérnatique du tenne était parfaitement contradictoire. Toutefois, utilisés par Dirac en personne ou par d'autres excellents physiciens, ils se déclaraient efficaces et fertiles. Des situations de ce type ne sont pas rares, il en existe actuellement, et elles signifient en général que des progrès mathématiques sont à l'ordre du jour.
En mathématiques, une multitude de concepts et de résultats, parfaitement rigoureux mais un peu épars développés pendant la première partie de ce siècle n'ont trouvé leur unification que dans le cadre des distributions. Ainsi, la notion de dérivée au sens des distributions permet de définir des solutions des équations aux dérivées partielles qui ne sont pas suffisémment dérivables pour constituer des solutions au sens normal du mot. En fait pour presque chaque type d'équation aux dérivées partielles, on avait été à définir une ou des notions de solutions généralisées (ou solutions 'faibles' ). Ces définitions rentrent maintenant dans un cadre connu et beaucoup plus général.
De même, comme nous le verrons, beaucoup d'opérateurs permettant de résoudre ces équations s'exprimeront pour nous en tenues de convolution par une distribution, alors que l'introduction de ces opérateurs est souvent bien antérieure. Pour l'équation des ondes par exemple, Hadamard avait exprimé par une formule ressemblant à celle d'une convolution, mais où des intégrales divergentes devaient être remplacées par leurs "parties finies".
Enfin, un pas très important avait été envahi par Sobolev eu introduisant les espaces qui portent son nom, nous aurons l'occasion d'en voir l'intérêt, et en contribuant à éclaircir la notion de solution faible.
La théorie des EDP est un thème qui ne sera entamé que d'une manière succincte dans ce cours. Aucun développement ne lui sera dévoué, il est bien entendu qu'un tel sujet, une telle approche nécessite un enseignement spécifique.
Par contre, nous nous sommes efforcés de montrer l'efficacité et la puissance des outils théoriques introduits en les appliquant systémes à des équations de la physique mathématique, principalement aux équations de Laplace, de Schrodinger, et à l'équation de la propagation des ondes et de la chaleur.
Les trois premiers chapitres seront considérés comme des avant-propos, donnant les outils à utiliser constamment par la suite. Le premier est dédié à l'intégrale selon Lebesgue. Un exposé complet de la théorie, avec l'introduction toutes les démonstrations: (il aurait été trop long pour le cadre horaire limité de ce cours. Par contre, nous avons pu présenter les résultats les plus utiles, qui sont relativement peu cours, faciles à mémoriser, et cousidérablement plus efficaces que leurs homologues en théorie de l'intégrale de Riemann aura une place relativement réduite dans ce cours.
Cela dit, pour ceux de nos lecteurs qui seraient suffisamment pourvus de ces deux denrées, nous avons consacré l'appendice C à l'étude des espaces de Fréchet. Nous y verrons aussi les dénotifications d'un certain nombre de résultats admis dans le cours. Ils reposent sur le théorème de Banach-Steinhaus, qui repose lui-même sur la théorie des espaees de Baire développée dans l'appendice B.
Enfin nous aurons besoin de quelques compléments de calcul différentiel principalemeut à plusieurs variables. Il s'agit d'un outil indispensable les équations de la physique mathématique. Le chapitre 3 rappelle les propriétés fondamentales des fonctions de dasse C", dans tout ouvert . cadre qui sera suffisant pour la suite, et y ajoute des résutats importants sur l'approximation par des fonctions différentiables. L'appendice A donne des compléments géométriques plus une présentation complète de l'intégrale de surface. Il n'entame toutefois que quelques aspects de la géométrie différentielle, et ne pourrait se substituer à l'enseignement consacré à ce sujet.
Le cours proprement dit se compose des chapitres 1 à 10. à l'exclusion des appendices et des textes en petits caractères. Ceux-ci sont destinés à apporter des complèments (et dans des cas à satisfaire, ou à piquer, la curiosité du lecteur). Les chapitres sont divisés (les sections sont presque liées, les énoncés, théorèmes aux exercices (qui ne sont pas moins importants) sont numérotés. Les formules sont numérotées de chaque chapitre. Introduction On trouvera une une petite bibliographie à la page 2LU). Ce livre reprend, presque le meme cours enseigné à Polytechnique en 96. Il doit beaucoup aux cours cl 'Analyse de ses prédécesseurs tels que Laurent Schwartz. Le cadre trimestriel certainement trop restreint ('\, eu sans doute un avantage: nous contraindre à aller droit à l'essentiel). Néanmoins, le sujet mériterait d'ètre traité à un rythme moins soutenu et d'être précédé d'un enseignement de calcul différentiel et intégral..."
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Cours d'analyse - Bony
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