1967 - Schwartz - Cours D'analyse 2 - Calcul Différentiel Extérieur

Chapitre VI

CALCUL DIFFERENTIEL EXTERIEUR

Applications multilinéaires alternées.
Signature d'une permutation
Applications symétriques et antisymétriques
Multiplication extérieure des formes
différentielles antisymétriques
Produits extérieurs d'applications multilinéaires
Algèbre extérieure de E
Orientation d'un espace vectoriel de dimension finie sur IR
Premières définitions
Autres méthodes d'orientation d'un espace vectoriel
Propriétés des formes antisymétriques
Formes différentielles sur un espace affine
Définitions et premiers résultats
Produit exterieur de formes différentielles
Forme différentielle associée à la dérivée d'une fonction
Image réciproque d'une forme différentielle par une application
Formes différentielles sur une variété abstraite
Formes différentielles et champs dans un espace euclidien orienté

Cobord ou différentielle extérieure d'une forme différentielle extérieure
Définitions
Extension au cas abstrait
Interprétation mécanique de la divergence
Calcul en coordonnees polaires dans R3
Primitive extérieure d'une forme différentielle
Orientation des variétés differentiables sur le corps des réels
Systeme continu d'orientation d'une varieté
Comparaison de deux systèmes contInus d'orientation
Orientabilité et orientation d'une variété
Orientation d'l variété par des cartes
CO-orientables
Orientation d'une variété par des champs
de vecteurs continus
Orientation d'une variété par le signe des formes différentielles réelles
Exemple d'une variété non orientable, la ceinture de Mobius
Orientabilité des variétes.complexes
Orientation transversale d'une variete de dimension N - 4 dans un espace affine de dim. N
Orientation transversale par les champs continus de vecteurs normaux
Partage de l'espace en régions par une hypersurface

Orientation transversale d'une hypersurface et partage de l'espace en régions
5-13 Relation entre l'orientation transversale
et l'orientation tangentielle
5-14 Notre univers physique est une variete orientable
6 Intégration d'une forme différentiable sur une variété Orientée
6-1 Mesure de Radon
6-2 Intégrale d'une forme différentielle de degré m sur une variété Orientée de de degré n
6-3 Propriétes élémentaires de l'intégrale
6-4 Calcul pratique de l'intégrale
6-5 Majoration de l'intégrale
6-6 Application aux calculs pratiques
6-7 Cas d'une hypersurface d'un espace euclidien
6-8 Transformation par difféomorphisme
6-9 Intégrale d'une forme différentielle
6-10 Proprietés de l'intégrale d'une forme différentielle sur une variéte singulière
6-11 Intégrale de formes différentielles sur des variétés présentant des singularités
6-12 Intégrale curviligne
6-13 Intégrale curviligne sur un chemin arbitraire de longueur finie
7 Formule de Stokes
7-1 Varietés avec bord
a

7-2 Varietes avec pseudo-bord
7-3 Orientation du pseudo-bord

Théorème de Stokes elémentaire
7-5 Theorème de Stokes général
7-6 Cas particulier n = 4
7-7 Cas particulier 1% = Z
7-8 Formules intégrales remarquables en analyse vectorielle
7-9 Règles de transformation des intégrales en analyse vectorielle
8 Application de la théorie des formes différentielles à la topologie algébrique
Intégrales aes formes différentielles férmees sur les variétés compactes sans bord
Intégrale d'un cocycle sur un cycle
Détermination d'une forme difféentielle continue par ses intégrales
Theoreme de De Rham
Application aux fonctions "arguments" dans R2
Opération d'addition sur les cycles
Cycles homologues à 0
Homologie des cycles
Homotopie
Relation entre l'homotopie et l'homologie
Espaces simplement connexes
La forme différentielle 'Angle solide'
Homologie dans le complémentaire d'un ensemble fini d'un espace affine
Expression généale des classes d'homologie

Indice d'un cycle de dimension N-1 par rapport à un point
Invariance de l'indice par déformation continue
Variantion de l'indice quand on traverse l'image du sysle
Application à la détermination des indices dans les diverses régions
Classes résiduelles d'un cocycle à singularité isolées
Degré topologique d'une application continue

Alembert ('Theorème de d')
Algèbre extérieure
Angle solide
c'n homologie
Cm homotopie
Carte coorientable
Classes résiduelles d'un cocycle à singularités isolées
Cobord
Cocycle
Cohomologie (Espace vectoriel de)
Cycle
Homologue a zéro
Décomposable (Forme de degré k)
Différentiation extérieure
Différentielle extérieure
Différentielle fermée
Dimensionnellement négligeable (variété)
Divergence
Forme différentlelle sur une variété abstraite
WF orme fondamentale d'un espace Orienté
Gradient
Grandeur:  axiale ..............  
d'espèce impaire ............ 
tordue .........
Homotopie ..................  
à zéro .........

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