1992 - Cours de mathématiques 1-Algèbre - Arnaudiès
Parmi les références du monde algébrique, vient se situer cet ouvrage que l'on vous présente dans SPE, scientific pdf ebooks, votre mine d'ouvrages scientifiques, en pdf à télécharger gratuitement.
Bonne lecture!
En Algèbre, l'idée inspiratrice des nouveaux programmes des classes préparatoires est qu'il faut mettre l'accent sur la dualité parfaite et l'interaction totale entre d'une part le concret, l'observation et l'expérimentation qu'ils suscitent, et d'autre part la théorisation, synthèse généralisatrice et unificatrice qui permet de démarrer un cran plus loin un nouveau cycle de recherches.
Cette philosophie, qui a guidé les rédacteurs de ces programmes, est très ambitieuse ; elle revient en effet à souhaiter que l'enseignement, dans son esprit et ses méthodes, suive d'aussi près que possible le cheminement de la science active (la dualité décrite plus haut). Or, c'est là une tâche difficile, car il faut beaucoup de temps et de patience pour allier équitablement, dans un exposé où précisément le temps est compté, le général et le particulier, la théorie et l'application ; de toute manière, il n'est pas possible de recréer toutes les démarches aboutissant aux résultats enseignés, et l'on ne peut pas faire repartir chaque génération de zéro.
Mais cette philosophie, bien comprise, s'imposait tout de même : il fallait rappeler que la théorie a besoin de matière première pour se développer, et qu'elle va toujours très loin lorsqu'elle est issue d'un problème réel que nous pose le monde. Il fallait aussi tenir compte de ces prodigieux outils mis à notre disposition par l'électronique moderne et qui insufflent un puissant renouveau à toute la partie algorithmique des mathématiques, et même aux recherches sur la logique.
Nous nous sommes donc efforcés, dans ce cours, de tenir compte au mieux de ces contraintes. Les structures algébriques ne sont introduites que peu à peu, au fil de l'étude des nombres. Quand elles surviennent, elles ne sont pas étudiées d'une façon systématique, il sera donné juste les propriétés nécéssaires pour la poursuite du texte principal :
- La notion de groupe est définie au Chapitre Il, mais n'est étudiée à fond qu'au Chapitre V, après toute l'arithmétique. On constatera que cela n'a pas nui à cette dernière ; au contraire, l'Arithmétique, au cours de l'exposé, «appelle» la structure de groupe, et aussi les structures d'anneau et de corps.
- Les espaces vectoriels s'annoncent au Chapitre VI, d'où une plus cohérente présentation des nombres complexes, mais leur étude véritable ne commence qu'au Chapitre IX.
C'est ainsi que, dans le respect de l'esprit des nouveaux programmes, l'introduction des grandes structures de base de L'Aigèbre s'étale, très progressivement, sur les 9 premiers des 16 chapitres du livre.
Mais nous avons aussi composé chaque chapitre dans ce même souci: par exemple, au Chapitre V sur les groupes, les cycles sont abordés avant la notion abstraite d'opération de groupe sur un ensemble, qui se trouve donc justifiée a priori par une de ses plus belles illustrations. Lorsqu'un même chapitre contient des parties enseignées en seconde année, elles sont reléguées à la fin, et ce qui précède dans le chapitre n'en dépend pas, comme on le vérifiera au Chapitre V, § 7, ou au Chapitre XV, §§ 5 et 6.
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