1991 - Schwartz L - Analyse I
Theorie des ensembles et Topologie
Il n'est donc pas question de trouver ici un exposé très approfondi. Nous nous contentons esssentiellement de rappeler les définitions et les règles d'utilisation des principaux connecteurs logiques, des quantificateurs ainsi que quelques principes de démonstration des théorèmes mathématiques. La démarche du mathématicien consiste, par application de règles logiques à déduire, à partir d'axiomes précisés, certaines propositions qui se trouvent ainsi démontrées.
Les méthodes formelles qu'on vient de présenter ici s'étendent à un cadre plus général où sont manipulés - entre autres - les quantificateurs dont il sera question plus loin. Naturellement, il est nécessaire aussi d'enrichir la liste des axiomes. On obtient ainsi une théorie logique ou théorie axiomatioque. Une telle théorie logique est dite contradictoire ou non consistante s'il existe une proposition P telle que l'on puisse à la fois démontrer Pet -,p_ Alors toute proposition Q (et aussi -iQ ) est démontrable.(*) Voici tout d'abord une démonstration formelle de ce résultat.
§2 LES CINQ PREMIERS AXIOMES DE LA THEORIE
DES ENSEMBLES
Introduction
Les concepts d'ensemble et de classe(*) servent de fondement à toutes les mathé-matiques. Pour rompre la monotonie on dit aussi collection au lieu d'ensemble, on utilise aussi des mots comme objets, éléments, parties, familles dans des situations particulières. De la même façon que dans l'approche axiomatique de la géométrie élémentaire, où on ne définit pas ce qu'est un point, une droite(**), mais ce qu'on peut faire avec ces objets en fixant les règlesde leur usage c'est à dire les relations entre ces objets. Chacun d'entre nous a une notion intuitive de ce que peut être un ensemble. C'est ainsi que nous parlons des ensembles suivants(***)
l'ensemble des points du plan,
l'ensemble des quadriques non dégénérées.
Dans notre approche intuitive, apparaît nécessairement la notion d'être membre d'une collection. Cette idée est concrétisée dans la théorie des ensembles par l'introduction de l'appartenance. C'est aussi une notion primitive.
Si les 2 notions d'ensemble et d'appartenance, ne sont pas définies, nous avons dit que nous nous imposons des règles : ce qu'on peut faire et ce qu'on ne peut pas faire avec ces 2 notions. Ce sont les sept axiomes de Zermelo-Fraenkel auxquels nous ajoutons un huitième, l'axiome du choix.
Traditionnellement, ils sont donnés sous le nom et dans l'ordre suivant : axiome d'extensionnalité, axiome de sélection(*), axiome de la paire, axiome de la réunion. Le dernier axiome, appelé aussi axiome de remplacement n'intervient dans le théorie des ensembles qu'à l'occasion de l'introduction de la notion d'induction transfinie et de l'arithmétique ordinale. Il est dû à Fraenkel (1922). Pour ces raisons le système axiomatique (sans l'axiome du choix) que nous développons s'appelle la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel.
Nous allons donner chacun de ces axiomes formellement, le commenter et en tirer les conséquences. Mais d'abord précisons ce qu'est un texte mathématique. A l'.aide de lettres (majuscules, minuscules, latines, grecques, etc.) des signes de la logique classique, de ces deux signes E et = , et éventuellement des parenthèses (***) nous sommes capables d'écrire n'importe quel texte mathématique.
§3: APPLICATIONS - FAMILLES - PRODUIT D'UNE FAMILLE D'ENSEMBLES - AXIOME DU CHOIX
Applications
DÉFINITION 1.3.l. - Soient E et F deux ensembles, f relation fonctionnelle sur Ex F de domaine E On dit alors qu'on a défini une application f: x 1--+ y= f(x) de E dans F ou une fonction d'espace initial ou espace de départ (ou encore de domaine de définition) E et d'espace final ou espace d'arrivée ou encore espace des valeurs F. f(x) est appelé l'image de x par f et x est un antécédent de y .
- En pratique c'est la correspondance x 1--+ f(x) qui définit l'application. La relation fonctionnelle qu'on peut. toujours écrire sous la forme {(x, f(x)) E Ex F: x E E} est appelé le graphe de l'application f .
- Il y a lieu de distinguer soigneusement /, qui désigne l'application caractérisée d'une part par son domaine de définition, son espace d'arrivée et son graphe, et f(x), qui est l'élément de F correspondant à x par cette application. Cependant cette distinction, pour des raisons pratiques, n'est pas toujours facile à faire dans l'usage courant! Ainsi il est incorrect (mais commode) de dire la fonction "sin x", on devrait dire la fonction "sin", alors que sinx est la valeur de cette fonction au point x. On remédie à cet inconvénient en parlant de la fonction "x H sin x ", ou de la fonction f définie par f(x) = sin x.
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