2008 - Invitation à l'algèbre - Théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modules
SPE, scientific pdf ebooks, a le plaisir de vous présenter ce beau livre d'algèbre. Nous espérons qu'il sera d'une bonne aide aux étudiants. Il est à télécharger gratuitement.
Bonne lecture!
Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques fondamentales qui désirent approfondir leurs connaissances dans ce vaste domaine des mathématiques qu'est l'algèbre. Il sera supposé qu'ils savent manipuler le langage de la théorie des ensembles et ont déjà assimilé les éléments essentiels de l'arithmétique des nombres entiers et de l'algèbre linéaire. Une liste plus précise des prérequis figure ci-après.
Dans ses grandes lignes, le programme d'un tel livre est à peu près fixé : il doit nécessairement couvrir les notions de groupe, d'anneau et de corps et peut-être celle de module. En revanche, la manière dont on les envisage peut différer. Le temps n'est plus où l'on pouvait enseigner les structures de l'algèbre, comme dans le livre Algèbre de S. Lang [15] par exemple, et espérer que les étudiants y trouveront de l'intérêt, laissant à plus tard, c'est-à-dire pour beaucoup à jamais, la question de l'utilité des concepts introduits. Notre sentiment est qu'il faut enseigner la théorie générale avec, pour chaque partie, un objectif précis de son application. Les exemples se doivent d'abonder dans le texte, d'être traités en détail, d'illustrer la théorie et d'en montrer la pertinence. Les choix que cela implique sont en partie subjectifs et dépendent des goûts des auteurs. Nous exposons ci-dessous ceux qui sont les nôtres.
Pour la théorie des groupes, le but à atteindre est celui de la compréhension des groupes de la géométrie classique (groupes diédraux, groupes des rotations et des symétries des polygones réguliers, groupes de déplacements de l'espace euclidien). Cette approche nécessite l'introduction du produit semi-direct qui est au cœur de la structure de ces groupes. L'étude des groupes de matrices, en particulier celle des groupes classiques orthogonaux et unitaires, permet de faire le lien avec l'algèbre linéaire. Une petite incursion dans la théorie des groupes topologiques (p. ex. connexité par arcs de SOn (IR)) est également proposée.
La théorie des anneaux (commutatifs) est axée sur l'arithmétique : éléments premiers et irréductibles, questions de factorialité. Nous nous proposons de donner de nombreux exemples de sous-anneaux de C qui illustrent ces notions et de montrer dans quelle mesure l'arithmétique des nombres entiers se généralise à ceux-ci. Le cas important des anneaux de polynômes est également considéré en détail.
La théorie des corps commutatifs traite des caractéristiques basiques des extensions telles que : degré, éléments algébriques et transcendants, classification des extensions simples... La principale application est la non-résolution des trois problèmes de géométrie classique : quadrature du cercle, trisection de l'angle et duplication du cube.
Les notions évoqués ci-dessus forment le « noyau dur » d'une introduction à l'algèbre et leur connaissance nous paraît indispensable à tout mathématicien. Celles qui sont traitées par la suite, théorie de Galois et théorie des modules, même si elles n'appartiennent pas au socle de connaissances requises pour la licence, font sans aucun doute partie de la culture mathématique d'un étudiant plus avancé.
Vient ensuite une introduction à la théorie de Galois qui relie la théorie des groupes à celle des corps et discute de la question de la résolubilité des équations polynomiales. C'est, à notre avis, la plus belle et la plus profonde théorie algébrique que l'on puisse enseigner à ce niveau-là. Il est hors de question d'en donner un exposé exhaustif mais il est possible, moyennant une hypothèse raisonnable sur les corps qui interviennent, d'aller très rapidement au cœur de la théorie et de montrer que le groupe de Galois attaché à une équation polynomiale doit satisfaire une condition de résolubilité pour que l'équation elle-même soit résoluble par radicaux.
Enfin, la théorie des modules (sur un anneau commutatif) est une généralisation de l'algèbre linéaire. Le but est ici de montrer que c'est la même théorie, celle des modules de génération finie sur un anneau principal, qui permet de classifier les groupes abéliens de génération finie et de comprendre la structure des endomorphismes d'espace vectoriel : diagonalisation, trigonalisation et décomposition en blocs de Jordan.
Ce programme est trop abondant pour faire l'objet d'un cours semestriel destiné aux étudiants de troisième année d'université mais l'enseignant qui voudrait se baser sur ce livre pourra le faire sans difficulté en choisissant les chapitres appropriés à ses goûts et son auditoire. Cela a été le cas des auteurs qui ont enseigné ces matières à l'université de Berne et à celle de Bourgogne.
La lectrice ou le lecteur qui a acquis les connaissances présentées dans les deux premières années de mathématiques de l'université pourra utiliser un tel ouvrage avec profit, soit en relation avec un cours qui lui serait dispensé par ailleurs, soit pour apprendre seul cette partie des mathématiques. De même l'étudiant qui se propose de préparer les concours du CAPES et de l' Agrégation y trouvera les connaissances en algèbre dont il a besoin.
Nous donnons de brèves indications biographiques au sujet des mathématiciennes et des mathématiciens dont le nom apparaît dans l'ouvrage et replaçons certains des thèmes évoqués dans leur contexte historique ou mentionnons les développements récents qu'ils ont connus : classification des groupes simples finis, grand théorème de Fermat, problème déliaque, impossibilité de la quadrature du cercle et de la trisection de l'angle, vie de Galois et influence de son œuvre sur le dévelopement de l'algèbre. Nous espérons montrer ainsi que les mathématiques sont une branche vivante et non désincarnée du savoir humain.
La majorité des preuves exposées dans ce texte sont quasi complètes. Certains détails faciles sont laissés en exercice et nous conseillons vivement de fournir les explications manquantes, soit sur-le-champ, soit au cours d'une seconde lecture. Tous les chapitres se terminent par une série d'exercices - plus de 250 en tout - qui sont de 3 genres : Les premiers sont des applications simples pour vérifier la théorie exposée. Les seconds, marqués par une astérisque, exigeant plus de réflexion ou des calculs plus élaborés et sont en général accompagnés d'une indication qui en facilite la solution. Les derniers, précédés de deux étoiles(**), mentionnent des prolongements des connaissances exposées dans ce livre et sont accompagnés d'une référence bibliographique où l'on trouvera les informations nécessaires. La plupart des références que nous avons données sont en langue anglaise. Ce choix est délibéré car nous pensons que tout étudiant avancé se doit de pouvoir lire des ouvrages de mathématiques dans cette langue. Nous adjoignons en fin d'ouvrage un petit glossaire dans lequel sont traduits quelques-uns des termes anglais qui ne correspondent pas de façon immédiate aux mots français utilisés.
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