2006 - Analyse Complexe Pour La Licence 3
Cours Et Exercices Corriges - Tauvel
Le présent ouvrage concerne l'analyse complexe d'une seule variable. C'est un livre très intéressant et très détaillé qui profitera certainement aux étudiants de Licence, de prépa, ainsi qu'aux agrégés. SPE, scientific pdf ebooks a le plaisir de vous le présenter dans cet article.
Bonne lecture!
Préface
Nombreux sont les résultats relatifs à la théorie des fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables complexes. En effet, c’est une théorie plus ou moins ancienne. En outre, c'est l'un des domaines des mathématiques les plus fructueux, vu les recherches innombrables qui y sont consacrées. Afin de bien entamer cette théorie, l’étudiant pourra procéder par étapes. Cet ouvrage en représenterait la première.
Explications :
Un faible volume de connaissances est demandé pour bien pouvoir suivre ce livre, par exemple :
- Pour la topologie, seules les parties connexes de C et les propriétés des compacts sont requises.
- Quant à l’intégration, hormis le complément fourni au chapitre sept (qui ne sera d'ailleurs pas réutilisé ultérieurement), nous n'aurons besoin que des propriétés élémentaires de l’intégrale au sens de Riemann.
- Pour ce qui est du calcul diff, la notion d'application différentiable est la seule pratiquement à être demandée.
Conclusion, un étudiant de 3ième de Licence aura tout le bagage nécessaire pour entamer ce livre.
Pour ce qui est des détails du contenu:
Les trois premiers chapitres sont voués à une révision des programmes de licence. Y sont traitées toutes les formes de séries.
Le chapitre quatre éclaircit les fonctions analytiques. Des résultats importants sont obtenus tels que les principes des zéros isolés et celui du prolongement analytique, quoique la notion ne présente pas de difficulté majeure.
Le chapitre cinq présente une généralisation de la dérivabilité aux variables complexes avec, notamment, les déterminations continues de l’argument, notion nécessaire par suite.
Pour ce qui est du chapitre six, il donne un résultat fondamental. Car y est montré qu’une fonction est dérivable - ou holomorphe - si et seulement si elle est localement développable en série entière. C’est une différence gigantesque par rapport au cas des réels.
Les chapitres sept et huit sont réservés à la théorie de Cauchy locale. Nous obtiendrons les propriétés essentielles des fonctions holomorphes ou méromorphes, comme par exemple la très célèbre formule des résidus fameuse chez les étudiants puisqu'elle permettra de calculer des intégrales.
Des les chapitres neuf et onze, seront étudiés les produits infinis, notion beaucoup plus difficile que les séries. Au chapitre onze, on montre en particulier l’existence de fonctions holomorphes ayant des zéros imposés.
Au chapitre dix, nous traiterons, d'une manière plus générale, des questions déjà entamées dans les chapitres précédents. Nous introduirons en particulier la notion d’homotopie, déformation continue des courbes.
Au chapitre douze sera débattu le théorème de Montel, notion topologique d’une part, et d’autre part au théorème de Riemann et la représentation conforme (théorème de Riemann), ou sera démontrée une condition pour que deux ouverts de C soient analytiquement isomorphes.
Le chapitre treize présentera la démonstration de trois théorèmes célèbres : deux théorèmes de Picard et le théorème de Runge. Les deux premiers sont surprenants, le troisième un outil fondamental relativement à l’approximation de fonctions.
Au chapitre quatorze, nous entamerons les fonctions harmoniques de 2 variables réelles, qui sont fréquemment utilisées dans plusieurs domaines scientifiques. L'un des résultats qui seront prouvés est qu’elles sont indéfiniment différentiables.
Le chapitre quinze présente certaines méthodes (de manière très limitée) de calculs d’intégrales par la formule des résidus. Pour plus d'entrainement, l'étudiant est prié de se référer aux livres d’exercices (ou aux séances de TD).
Comme il a été déjà signalé, cet ouvrage, qui a pour vocation d’être plutôt élémentaire, ne présente que certains volets de la théorie des fonctions holomorphes. En particulier, il traite seulement le cas d’une seule variable.
A noter aussi que le contenu de cet ouvrage est entièrement adapté au programme de l’agrégation de mathématiques en ce qui concerne les fonctions holomorphes.
2006 - Analyse Complexe Pour La Licence 3
Cours Et Exercices Corrigés - Tauvel
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Mots-clé: maths, prepa, analyse, variable complexe, ebook français
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