2015 - Introduction à la géometrie algébrique complexe - Ahmed Lesfari
Le présent livre, mis en relief pour vous par SPE scientific pdf ebooks, est destiné aux étudiants de licence (L2, L3) de maths ainsi qu'aux étudiants de master (Ml, M2)... Il a pour objectif de montrer plusieurs volets essentiels concernant les variétés complexes.
Les méthodes sont topologiques, algébriques, analytiques et géométriques. Les sujets développés ici sont des objets d'une très grande richesse qui interfèrent dans plusieurs champs des maths : géométrie et topologie différentielle, théorie des nombres, topologie algébrique, géométrie algébrique, systèmes intégrables, etc., et sont à l'origine de multiples domaines de recherche actuelle.
Nous allons étudier ces variétés avec une approche de géométrie complexe.Le chapitre 1 a pour but de présenter quelques définitions et propriétés de base de géométrie liées aux notions de faisceaux, utilisées ou évoquées dans les chapitres suivants. Dans le chapitre 2, on étudie les courbes algébriques (projectives lisses) ou surfaces de Riemann compactes X. Ce sont des variétés analytiques de dimension 1 complexe (2 réelle) munies d'atlas dont les changements de cartes sont holomorphes.
Un cas particulier important est représenté par les courbes hyperelliptiques de genre g ainsi que les courbes elliptiques (g = 1). Nous irons construire de manière intuitive, la surface de Riemann dans le cas elliptique et hyperelliptique.
Nous étudierons par suite les différentielles abéliennes, les relations bilinéaires de Riemann et la matrice des périodes. Après avoir rappelé les définitions et propriétés des diviseurs et des fibrés en droites nécessaires à la compréhension des résultats principaux du chapitre, nous allons aborder le théorème de Riemann-Roch. Ce dernier est le résultat fondamental de la théorie des surfaces de Riemann compactes.
Il permet, par exemple, de définir le genre d'une surface de Riemann qui est un invariant fondamental. C'est un théorème d'existence efficace qui permet de déterminer le nombre de fonctions méromorphes linéairement indépendantes ayant certaines restrictions sur leurs pôles.
Vu l'importance de ce théorème, nous en donnerons une preuve détaillée constructive bien qu'un peu technique. Nous mentionnerons quelques résultats de ce théorème et nous donnerons aussi une preuve analytique de l'importante formule de Riemann-Hurwitz. Elle exprime le genre d'une surface de Riemann grâce au nombre de ses points de ramifications et du nombre de ses feuillets. Nous montrerons que cette formule fournit un moyen efficace pour déterminer le genre d'une surface de Riemann donnée. En plus, plusieurs exemples intéressants seront étudiés.
Deux autres théorèmes, celui d'Abel et celui de Jacobi, de nature transcendante et considérés comme nécessaires de la théorie des surfaces de Riemann compactes seront très détaillés.
Le théorème d'Abel classifie les diviseurs par leurs images dans la variété jacobienne (tore complexe algébrique) alors que le problème d'inversion de Jacobi concerne l'existence d'un diviseur qui soit l'image inverse d'un point arbitraire sur la variété jacobienne...
2015 - Intro. à la géométrie algébrique complexe - Ahmed Lesfari
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