2010 - Calcul différentiel et équations différentielles
Cours et exercices corrigés
Introduction
Le coeur de ce livre est essentiellement consacré à l’analyse des équa. diff. pour de futures applications. Nous entamons par une partie dédiée aux éléments principaux du calcul différentiel d'un point de vue analytique, de manière qu’aucun pré-requis ne soit obligatoire.
Quant aux notions essentielles de calcul intégral, topologie, analyse complexe, géométrie, analyse fonctionnelle ou algèbre linéaire, elles sont évoquées au fil du livre.Le but de la première partie est de défiler le calcul diff. du point de vue le plus complet possible, qui dépasse le cadre simple des fonctions à plusieurs variables réelles et de leurs dérivées partielles, sans dépasser le niveau de l’analyse classique.
Le modèle élu est celui des fonctions définies sur des ouverts de R-espaces vectoriels normés, le calcul différentiel dans des espaces plus généraux n'est pas abordé ici.
Seront présentés les classiques du calcul différentiel, à savoir le théorèmes des AF, d’inversion locale, des FI, F de Taylor.. dans les R-espaces vectoriels normés, supposés complets, des Banachs.
Les notions ainsi introduites serviront dans les EDO.Ce choix est motivé par l’étude de modèles mathématiques pouvant être vus comme des EDO en dimension infinie : par exemple les équations différentielles sur réseaux, issues ou non de la discrétisation en espace d’équations aux dérivées partielles (EDP) d’évolution, ou encore les équations différentielles dans des espaces fonctionnels comme L2(R) (certaines EDP d’évolution pouvant être vues comme telles).
La première partie comprend en outre, dans un chapitre consacré aux problèmes d’extremum, une introduction à l’optimisation continue et au calcul des variations. Ce sont là de vastes domaines, dont on présentera les bases permettant d’aborder la lecture d’ouvrages plus avancés. Ce sera de plus l’occasion de présenter une classe importante d’équations différentielles, à savoir les équations d’Euler–Lagrange.
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Cette partie s’achève par un chapitre sur la théorie des formes différentielles, souvent absente des cursus d’enseignements universitaires, et pourtant cruciale non seulement en mathématiques dites « pures » mais aussi dans les applications des mathématiques (thermodynamique, électromagnétisme, dynamique des fluides, etc.). On définira les notions essentielles que sont le produit extérieur et la différentielle extérieure de q-formes différentielles sur Rn, et l’on présentera dans ce cadre les théorèmes de Poincaré, Frobenius et Stokes.
Ce chapitre ne nécessite pas de pré-requis particulier et peut servir de vade mecum sur le sujet. Hormis son dernier chapitre, la première partie constitue le bagage que l’on peut attendre en calcul différentiel d’un étudiant en fin de licence.L’analyse des équations différentielles est développée dans la seconde partie. Le cadre est celui des équations différentielles « non méchantes », ie, supposées résolues sans problème de régularité. C’est une partie comportant bien sûr des outils, sous forme de lemmes, formules, théorèmes, etc., mais elle est aussi l’occasion d’insister sur diverses méthodes, et notamment celles de Picard, Lyapunov-Schmidt et Melnikov.
Sans négliger les aspects plutot élémentaires, par exemple la résolution explicite dans les cas les plus simples et la classification des points fixes dans le plan, elle va au-delà du théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz.
Ceci commence par la question de la dépendance des solutions par rapport aux « conditions initiales » (avec le théorème du flot) et aux paramètres, et se poursuit par un approfondissement de la théorie pour les équations linéaires d’une part, et pour les équations non-linéaires autonomes d’autre part.
Pour les premières, cela comprend la notion de résolvante, la théorie de Floquet, des éléments d’analyse spectrale, les notions de projecteurs spectraux et de dichotomies exponentielles. Pour les secondes, il s’agit essentiellement de l’étude de l’existence et des propriétés qualitatives (comportement asymptotique, stabilité par rapport aux paramètres) de solutions particulières (stationnaires, périodiques, orbites homo/hétéroclines), sans chercher à les calculer explicitement, avec notamment la théorie de Lyapunov et les théorèmes de Poincaré-Bendixson, de la variété stable et de bifurcation de Hopf. Cette partie Équations différentielles peut faire l’objet d’un solide cours de première année de master.
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