2013 - Algèbre Tome 2 - Anneaux modules et algèbre multilinéaire
Le présent livre présenté par SPE, scientific pdf ebooks, vient compléter le tome "Algèbre I".
L’étude des nombres et des équations, chemin très ancien dans l'histoire, a permis d'observer des similitudes entre certaines propriétés vérifiées par des entités mathématiques de natures différentes, par exemple les nombres et les polynômes. Cela a suggéré aux mathématiciens, du 19e siècle surtout, d'essayer de bâtir une axiomatique qui met en évidence les liens profonds de ces analogies.
Sont apparu les structures algébriques que l'ont connais actuellement, groupes, anneaux etc... L'étude de ces structures s'était alors imposée, suivie des applications aux problèmes posés. L’algèbre abstraite était née.L’étude des équations algébriques est directement liée à l’algèbre, dont le nom provient du titre d’un traité célèbre d’Al - Khawarizmi. D’abord exclusivement consacrée au calcul, à l’introduction des outils (nombres négatifs, extraction de racines, nombres complexes) et à l’élaboration des règles d’utilisation de ces objets, l’algèbre a évolué vers l’étude des structures.L’étude des nombres entiers remonte à la plus Haute Antiquité, mais c’est l’étude des nombres algébriques, au XIXe siècle, qui a conduit aux notions d’anneau et de corps.
La divisibilité dans les nombres entiers repose sur la propriété fondamentale : "tout nombre entier s’écrit, de manière unique, comme produit de nombres premiers". Comme pour toute structure algébrique importante, la notion d’anneau survient dans plusieurs situations autre que les nombres entiers, par exemple les polynômes.
Il serait donc tentant de voir si l’analogue de la décomposition en produit de nombres premiers existe : on l’appelle alors décomposition en produit d’éléments irréductibles. Ce qui nous amène à la notion d’anneau factoriel, une généralisation de la notion d’anneau euclidien ou principal (voir chapitre II). Nous étudierons par la suite cette décomposition dans le cas des anneaux de polynômes (voir chapitre III).
L’introduction de la notion d’idéal a permis de généraliser des énoncés relatifs aux propriétés usuelles de la divisibilité des nombres entiers. En particulier, la généralisation aux idéaux de la propriété de décomposition en produit d’irréductibles, associée à la notion d’extension de corps, a permis un essor immense en arithmétique, comme avec l’étude des anneaux de Dedekind (voir chapitre VI).
Les espaces vectoriels (sur un corps) est très féconde en mathématiques et a de nombreuses applications en mathématique, physique, chimie, biologie et sciences humaines. C’est la raison pour laquelle l’algèbre linéaire est un domaine essentiel et son étude incontournable.
En remplaçant le corps de base par un anneau, la structure d’espace vectoriel garde un sens et, pour la distinguer de la notion précédente, on parle de module sur un anneau (voir chapitre IV). Cette structure de module possède de nombreuses propriétés des espaces vectoriels, mais elle est plus fine et certains résultats fondamentaux des espaces vectoriels ne tiennent plus : par exemple, un module ne possède pas obligatoirement une base. Pourtant, cette structure algébrique est d’une richesse immense – en particulier si l’anneau de base est principal (voir chapitre V) et par rapport à la dualité (voir chapitre VII) – et se rencontre naturellement dans de plusieurs situations mathématiques ou autres.
Les applications linéaires sont le coeur de l’algèbre linéaire, alors qu'une multitude de problèmes font apparaître des applications de plusieurs variables, linéaires en chaque variable, les applications multilinéaires.
Pour simplifier l’étude de cette partie, on utilise l'algèbre tensorielle (voir chapitre VIII) ou l'algèbre extérieure (voir chapitre IX), outils très puissants en algèbre et géométrie.
La structure d’anneau a, comme pour les groupes, engendré une approche algébrique de la géométrie, comme les courbes et les surfaces : la géométrie algébrique. Cette méthode "algébrique" a été ensuite appliquée efficacement en analyse – groupes topologiques, espaces vectoriels normés et algèbres de Banach.
Les étudiants de L3, de master et d'agrégation de mathématiques trouveront dans ces tomes d'algèbre un grand soutien.
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2013 - Algèbre Tome 2 - Anneaux modules et algèbre multilinéaire
Mots-clé : algèbre, maths, anneaux, ebooks français, master, prepa
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